Question

16．在平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，E為線段CD上一動點，則$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$的取值范圍是[-3，0]．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DC}$，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BD}$，得出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$關(guān)于λ的函數(shù)，根據(jù)λ的范圍得出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$的范圍．

解答 解：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=AB•AD•cos60°=1．
設(shè)DE=λ$\overrightarrow{DC}$=$λ\overrightarrow{AB}$，則0≤λ≤1．
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$）=${\overrightarrow{AD}}^{2}$+（λ-1）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$-λ${\overrightarrow{AB}}^{2}$=1+（λ-1）-4λ=-3λ．
∵0≤λ≤1，∴-3≤3λ≤0．
故答案為：[-3，0]．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量級運(yùn)算，屬于中檔題．