Question

2．已知物物線x²=4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過l上任意一點(diǎn)P作拋物線x²=4y的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B．
（I）求證：PA⊥PB；
（2）求$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{FB}$-$\overrightarrow{PF}$²的值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線方程求出拋物線的準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)相等列式得到a²-2an-4=0，b²-2bn-4=0．從而得到a，b是方程x²-2nx-4=0的兩根，則答案得證；
（2）求出$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{PF}$²，作差后得答案．

解答 （1）證明：準(zhǔn)線l的方程為：y=-1，F(xiàn)（0，1），
設(shè)P（n，-1），A（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$），B（b，$\frac{^{2}}{4}$），
∵x²=4y，∴y=$\frac{1}{4}$x²，∴$y′=\frac{1}{2}x$．
∴k_PA=$\frac{a}{2}$=$\frac{\frac{{a}^{2}}{4}+1}{a-n}$，即a²-2an-4=0．k_PB=$\frac{2}$=$\frac{\frac{^{2}}{4}+1}{b-n}$，即b²-2bn-4=0．
∴a，b是方程x²-2nx-4=0的兩根．
則ab=-4．即$\frac{a}{2}•\frac{2}$=-1．
∴PA⊥PB；
（2）解：$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{FB}$=（-a，1-$\frac{{a}^{2}}{4}$）•（b，$\frac{^{2}}{4}$-1）=-ab-$\frac{（{a}^{2}-4）（^{2}-4）}{16}$=n²+4．
$\overrightarrow{PF}$=（-n，2），$\overrightarrow{PF}$²=n²+4
∴$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{FB}$-$\overrightarrow{PF}$²=0．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了平面向量在解題中的應(yīng)用，綜合考查了學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力，是壓軸題．