Question

20．證明：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n+1}$＞1（n∈N^*）

Answer 1

分析 先驗(yàn)證n=1時(shí)結(jié)論成立，再假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，推出n=k+1時(shí)結(jié)論成立．

解答 證明：（1）n=1時(shí)，左邊=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$=$\frac{13}{12}$＞1，結(jié)論成立．
（2）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+$…+$\frac{1}{3k+1}$＞1，
則n=k+1時(shí)，左邊=$\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+$…+$\frac{1}{3k+1}$+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}$+$\frac{1}{3k+4}$
=$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+$…+$\frac{1}{3k+1}$+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}$+$\frac{1}{3k+4}$-$\frac{1}{k+1}$
＞1+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}$+$\frac{1}{3k+4}$-$\frac{1}{k+1}$
=1+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+4}$-$\frac{2}{3k+3}$
=1+$\frac{2}{（3k+2）（3k+3）（3k+4）}$
＞1．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
∴對(duì)一切n∈N^*，都有$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n+1}$＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的證明，觀察n=k和n=k+1時(shí)的式子特點(diǎn)做出變換是解題關(guān)鍵．