【題目】在如圖的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點.
(Ⅰ)求證:AB∥平面DEG;
(Ⅱ)求二面角C-DF-E的余弦值.
【答案】(Ⅰ)∴四邊形是平行四邊形∴∴平面(Ⅱ)
【解析】
試題(Ⅰ)利用判定定理證明線面平行時,關鍵是在平面內找一條與已知直線平行的直線,解題時可先直觀判斷平面內是否已有,若沒有,則需作出該直線,?紤]三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過平行線分線段成比例等;(Ⅱ)1.使用空間向量求解空間角的關鍵是建立空間直角坐標系后,將空間角轉化為向量的運算,然后借助于直線的方向向量和平面的法向量解決立體幾何中的計算問題.在角的問題中,線面角和二面角是重點.2.注意角的范圍,如異面直線所成角的范圍是,線面角的范圍是,二面角的范圍是.
試題解析:(Ⅰ)證明:∵,∴.
又∵,是的中點,
∴,
∴四邊形是平行四邊形,∴. 2分
∵平面,平面, ∴平面. 4分
(Ⅱ)解∵平面,平面,平面,
∴,,
又,∴兩兩垂直.
以點E為坐標原點,以所在直線分別為軸建立如圖的空間直角坐標系. 6分
由已知得,(0,0,2),(2,0,0),
(2,4,0),(0,3,0),(0,2,2). 7分
由已知得是平面的法向量. 8分
設平面的法向量為,
∵,
∴,即,令,得. 10分
設二面角的大小為,由圖知為鈍角,
∴,
∴二面角的余弦值為12分
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【題目】如圖,在直角坐標系中,圓與軸負半軸交于點,過點的直線,分別與圓交于兩點.
(1)過點作圓的兩條切線,切點分別為,求;
(2)若,求證:直線過定點
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【題目】已知函數(shù),若關于的方程恰有兩個不相等的實數(shù)根, 則實數(shù)的取值范圍是
A. B. , C. , D. ,
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【題目】如圖1,在△中, , 分別為, 的中點, 為的中點, , .將△沿折起到△的位置,使得平面平面, 為的中點,如圖2.
(1)求證: 平面;
(2)求證:平面平面;
(3)線段上是否存在點,使得平面?說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(1)用“五點法”作函數(shù)的圖象;
(2)說出此圖象是由的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到的;
(3)求此函數(shù)的對稱軸、對稱中心、單調遞增區(qū)間.
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【題目】有下列命題:①若,則;②若,則存在唯一實數(shù),使得;③若,則;④若,且與的夾角為鈍角,則;⑤若平面內定點滿足,則為正三角形.其中正確的命題序號為 ________.
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【題目】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間(0,+∞)上單調遞減的函數(shù)是( )
A.y=x2B.C.y=2|x|D.y=cosx
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【題目】如圖在直三棱柱ABC A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,設AB1的中點為D,B1C∩BC1=E.
(1)求證:DE∥平面AA1C1C;
(2) 求證:BC1⊥AB1;
(3)設AC=BC=CC1 =1,求銳二面角A- B1C- A1的余弦值。
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【題目】設函數(shù), .
(1)當時,求函數(shù)的極小值;
(2)討論函數(shù)零點的個數(shù);
(3)若對任意的, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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