Question

4．某公司為生產(chǎn)某種產(chǎn)品添置了一套價(jià)值20000元的設(shè)備，而每生產(chǎn)一臺(tái)這種產(chǎn)品所需要的原材料和勞動(dòng)力等成本合計(jì)100元，已知該產(chǎn)品的年銷售收入R（元）與年產(chǎn)量x（臺(tái)）的關(guān)系是R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{500x-\frac{1}{2}{x}^{2}（0≤x≤500）}\\{125000（x＞500）}\end{array}\right.$，x∈N．
（1）把該產(chǎn)品的年利潤(rùn)y（元）表示為年產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該產(chǎn)品的年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)為多少元？
（注：利潤(rùn)=銷售收入-總成本）

Answer 1

分析 （1）利用y=R（x）-100x-20000分0≤x≤400、x＞500兩種情況討論即可把該產(chǎn)品的年利潤(rùn)y（元）表示為年產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)；
（2）分段求最大值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意y=R（x）-100x-20000元，
當(dāng)0≤x≤500時(shí)，y=500x-$\frac{1}{2}$x²-100x-20000=-$\frac{1}{2}$（x-400）²+60000，
當(dāng)x＞500時(shí)，y=125000-100x-20000=105000-100x，
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}（x-400）^{2}+60000（0≤x≤500）}\\{105000-100x（x＞500）}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)0≤x≤500時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$（x-400）²+60000
顯然當(dāng)x=400時(shí)，y取最大值60000元；
當(dāng)x＞500時(shí)，y=105000-100x，
顯然y隨著x的增大而減小，y＜105000-100•500=55000
∴每年生產(chǎn)400臺(tái)時(shí)，該產(chǎn)品的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為60000元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．