Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-2x，若關(guān)于x的方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有4個不同的實數(shù)根，且所有實數(shù)根之和為2，則實數(shù)t的取值范圍為$（{1，\frac{3}{2}}）$．

Answer 1

分析 令h（x）=|f（x）|+|f（a-x）|，從而可判斷h（x）的圖象關(guān)于x=$\frac{a}{2}$對稱，從而可得a=1；進而化簡h（x）=|x²-2x|+|（1-x）²-2（1-x）|，再作圖求解即可．

解答 解：令h（x）=|f（x）|+|f（a-x）|，
則h（a-x）=h（x）；
故h（x）的圖象關(guān)于x=$\frac{a}{2}$對稱，
又∵方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有4個不同的實數(shù)根，且所有實數(shù)根之和為2，
故4×$\frac{a}{2}$=2；
故a=1；
故h（x）=|f（x）|+|f（a-x）|=|x²-2x|+|（1-x）²-2（1-x）|
=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-2x-1，x≤-1}\\{-2x+1，-1＜x≤0}\\{-2{x}^{2}+2x+1，0＜x≤1}\\{2x-1，1＜x≤2}\\{{2x}^{2}-2x-1，x＞2}\end{array}\right.$；
作函數(shù)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-2x-1，x≤-1}\\{-2x+1，-1＜x≤0}\\{-2{x}^{2}+2x+1，0＜x≤1}\\{2x-1，1＜x≤2}\\{{2x}^{2}-2x-1，x＞2}\end{array}\right.$的圖象如下，

關(guān)于x的方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有4個不同的實數(shù)根可轉(zhuǎn)化為
函數(shù)h（x）=|x²-2x|+|（1-x）²-2（1-x）|與y=t有四個不同的交點，
故結(jié)合圖象可知，實數(shù)t的取值范圍為：$（{1，\frac{3}{2}}）$．
故答案為：$（{1，\frac{3}{2}}）$．

點評 本題考查了絕對值函數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．