Question

2．觀察下列三個三角恒等式
（1）tan20°+tan40°+$\sqrt{3}$tan20°•tan40°=$\sqrt{3}$
（2）tan22°+tan38°+$\sqrt{3}$tan22°•tan38°=$\sqrt{3}$
（3）tan67°+tan（-7）°+$\sqrt{3}$tan67°•tan（-7）°=$\sqrt{3}$
的特點，由此歸納出一個一般的等式，使得上述三式為它的一個特例，并證明你的結(jié)論．
（說明：本題依據(jù)你得到的等式的深刻性分層評分．）

Answer 1

分析 若α+β=60°，且α，β≠k•90°+90°（k∈Z），則$tanα+tanβ+\sqrt{3}tanαtanβ=\sqrt{3}$．運用和角的正切公式，化簡整理即可得到．

解答 解：若α+β=60°，且α，β≠k•90°+90°（k∈Z），
則$tanα+tanβ+\sqrt{3}tanαtanβ=\sqrt{3}$（4分）
證明如下：
因為α+β=60°，所以tan（α+β）=tan60°（6分）
即$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}=\sqrt{3}$（8分）
所以$tanα+tanβ=\sqrt{3}（1-tanα•tanβ）$（10分）
即$tanα+tanβ=\sqrt{3}-\sqrt{3}tanα•tanβ$
移項得$tanα+tanβ+\sqrt{3}tanαtanβ=\sqrt{3}$（12分）

點評 本題考查類比推理，考查對于所給的式子的理解，從所給式子出發(fā)，通過觀察、類比、猜想出一般規(guī)律，再證明結(jié)論，該題著重考查了類比的能力．