Question

已知f（x）=log_a（x+1），點P是函數y=f（x）圖象上的任意一點，點P關于原點的對稱點Q形成函數y=g（x）的圖象．
（1）求y=g（x）的解析式；
（2）當0＜a＜1時，解不等式2f（x）+g（x）≥0；
（3）當a＞1，且x∈[0，1）時，總有2f（x）+g（x）≥m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）設Q（x，y），
∵P、Q兩點關于原點對稱，
∴P點的坐標為（-x，-y），又點p（-x，-y）在函數y=f（x）的圖象上，
∴-y=log_a（-x+1），即g（x）=-log_a（1-x）…（2分）
（2）由2f（x）+g（x）≥0得2log_a（x+1）≥log_a（1-x）
∵0＜a＜1∴

x+1＞0 1-x＞0 (x+1)2≤1-x

∴x∈(-1，0]…（6分）
（3）由題意知：a＞1且x∈[0，1）時loga

(x+1)2

1-x

≥m恒成立．…（7分）
設u=

(x+1)2

1-x

=(1-x)+

4

1-x

-4，令t=1-x，t∈（0，1]，
∴u(t)=t+

4

t

-4t∈(0，1]
…（9分）
設0＜t₁＜t₂≤1∵u(t1)-u(t2)=(t1-t2)(1-

4

t1t2

)＞0
∴u（t）在t∈（0，1]上單調遞減，
∴u（t）的最小值為1…（12分）
又∵a＞1，∴loga

(x+1)2

1-x

的最小值為0…（13分）
∴m的取值范圍是m≤0…（14分）