【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a(x﹣1),g(x)=ex(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,9]為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a≠0時(shí),過原點(diǎn)分別作曲線y=f(x)與y=g(x)的切線l1 , l2 , 已知兩切線的斜率互為倒數(shù),證明: <a<

【答案】解:(Ⅰ)由f(x)=lnx﹣a(x﹣1)得, f′(x)= ﹣a= ,
∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,9]為增函數(shù),
∴f′(x)≥0在區(qū)間(0,9]恒成立,
≥0在區(qū)間(0,9]恒成立,
∴a≤ ,而 = ,
∴a∈(﹣∞, ];
(Ⅱ)證明:設(shè)切線l2的方程為y=k2x,切點(diǎn)為(x2 , y2),則y2=ex2 ,
k2=g′(x2)=ex2= ,
所以x2=1,y2=e,則k2=e.
由題意知,切線l1的斜率為k1= = ,l1的方程為y= x;
設(shè)l1與曲線y=f(x)的切點(diǎn)為(x1 , y1),則k1=f′(x1)= ﹣a= = ,
所以y1= =1﹣ax1 , a=
又因?yàn)閥1=lnx1﹣a(x1﹣1),消去y1和a后,
整理得lnx1﹣1+ =0.
令m(x)=lnx﹣1+ =0,
則m′(x)= = ,m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
若x1∈(0,1),因?yàn)閙( )=﹣2+e﹣ >0,m(1)=﹣ <0,所以x1∈( ,1),
而a= 在x1∈( ,1)上單調(diào)遞減,所以 <a<
若x1∈(1,+∞),因?yàn)閙(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,且m(e)=0,則x1=e,
所以a= =0(舍去).
綜上可知, <a<
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),問題轉(zhuǎn)化為即 ≥0在區(qū)間(0,9]恒成立,即a≤ ,求出a的范圍即可;(Ⅱ)設(shè)切線l2的方程為y=k2x,從而由導(dǎo)數(shù)及斜率公式可求得切點(diǎn)為(1,e),k2=e;再設(shè)l1的方程為y= x;設(shè)l1與曲線y=f(x)的切點(diǎn)為(x1 , y1),從而可得y1= =1﹣ax1 , a= ;結(jié)合y1=lnx1﹣a(x1﹣1)可得lnx1﹣1+ =0,再令m(x)=lnx﹣1+ ,從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性,從而確定 <a< ,問題得證.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

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