Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，9]為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a≠0時，過原點分別作曲線y=f（x）與y=g（x）的切線l1 ， l2 ， 已知兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明： ＜a＜ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=lnx﹣a（x﹣1）得， f′（x）= ﹣a= ，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，9]為增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在區(qū)間（0，9]恒成立，
即 ≥0在區(qū)間（0，9]恒成立，
∴a≤ ，而 = ，
∴a∈（﹣∞， ]；
（Ⅱ）證明：設(shè)切線l2的方程為y=k2x，切點為（x2 ， y2），則y2=ex2 ，
k2=g′（x2）=ex2= ，
所以x2=1，y2=e，則k2=e．
由題意知，切線l1的斜率為k1= = ，l1的方程為y= x；
設(shè)l1與曲線y=f（x）的切點為（x1 ， y1），則k1=f′（x1）= ﹣a= = ，
所以y1= =1﹣ax1 ， a= ﹣ ．
又因為y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，
整理得lnx1﹣1+ ﹣ =0．
令m（x）=lnx﹣1+ ﹣ =0，
則m′（x）= ﹣ = ，m（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
若x1∈（0，1），因為m（ ）=﹣2+e﹣ ＞0，m（1）=﹣ ＜0，所以x1∈（ ，1），
而a= ﹣ 在x1∈（ ，1）上單調(diào)遞減，所以 ＜a＜ ．
若x1∈（1，+∞），因為m（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且m（e）=0，則x1=e，
所以a= ﹣ =0（舍去）．
綜上可知， ＜a＜ ．
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為即 ≥0在區(qū)間（0，9]恒成立，即a≤ ，求出a的范圍即可；（Ⅱ）設(shè)切線l2的方程為y=k2x，從而由導(dǎo)數(shù)及斜率公式可求得切點為（1，e），k2=e；再設(shè)l1的方程為y= x；設(shè)l1與曲線y=f（x）的切點為（x1 ， y1），從而可得y1= =1﹣ax1 ， a= ﹣ ；結(jié)合y1=lnx1﹣a（x1﹣1）可得lnx1﹣1+ ﹣ =0，再令m（x）=lnx﹣1+ ﹣ ，從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定 ＜a＜ ，問題得證．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．