【題目】知函數(shù)f(x)=ax2﹣2x+lnx(a≠0,a∈R).
(1)判斷函數(shù) f (x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù) f (x)有兩個極值點x1 , x2 , 求證:f(x1)+f(x2)<﹣3.

【答案】
(1)解:由題意得,函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),

f′(x)=2ax﹣2+ = ,

令g(x)=2ax2﹣2x+1,△=4﹣8a,

①a≥ 時,△=4﹣8a≤0,f′(x)≥0恒成立,

則f(x)在(0,+∞)遞增;

②a< 時,△=4﹣8a>0,

由g(x)=0,解得:x1= ,x2= ,

(i)0<a< 時,0<x1<x2,

此時f(x)在區(qū)間(x1,x2)遞減,在(0,x1),(x2,+∞)遞增;

(ii)a<0時,x2<0<x1

此時f(x)在區(qū)間(x1,+∞)遞減,在(0,x1)遞增,

∴a≥ 時,f(x)在(0,+∞)遞增,

0<a< 時,f(x)在區(qū)間(x1,x2)遞減,在(0,x1),(x2,+∞)遞增,

a<0時,f(x)在區(qū)間(x1,+∞)遞減,在(0,x1)遞增;


(2)解:證明:由(1)得0<a< 時,函數(shù)f(x)有2個極值點x1,x2

且x1+x2= ,x1x2=

∴f(x1)+f(x2)=﹣(lna+ )﹣(1+ln2),

令h(a)=﹣(lna+ )﹣(1+ln2),(0<a< ),

則h′(a)=﹣( )= >0,

∴h(a)在(0, )遞增,

則h(a)<h( )=﹣(ln +2)﹣(1+ln2)=﹣3,

即f(x1)+f(x2)<﹣3.


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)求出f(x1)+f(x2)=﹣(lna+ )﹣(1+ln2),令h(a)=﹣(lna+ )﹣(1+ln2),(0<a< ),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

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