Question

11．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₉構(gòu)成等比數(shù)列{b_n}的前3項，則$\frac{{{a_1}+{a_3}+{a_9}}}{{{a_2}+{a_4}+{a_{10}}}}$=$\frac{13}{16}$；又若d=2，則數(shù)列{b_n}的前n項的和S_n=3ⁿ-1．

Answer 1

分析 由題意可得（a₁+2d）²=a₁（a₁+8d），可得a₁=d，進而a_n=nd，由等差數(shù)列的通項公式代入化簡可得$\frac{{{a_1}+{a_3}+{a_9}}}{{{a_2}+{a_4}+{a_{10}}}}$的值；
可得等比數(shù)列{b_n}的首項為2，公比為3，代入求和公式計算可得．

解答 解：由題意a₁，a₃，a₉構(gòu)成等比數(shù)列{b_n}的前3項，
∴a₃²=a₁a₉，∴（a₁+2d）²=a₁（a₁+8d），
∴a₁=d，∴a_n=nd，
∴$\frac{{{a_1}+{a_3}+{a_9}}}{{{a_2}+{a_4}+{a_{10}}}}$=$\frac{（1+3+9）d}{（2+4+10）d}$=$\frac{13}{16}$；
當d=2時，a₁=2，a₃=6，a₉=18，
∴等比數(shù)列{b_n}的首項為2，公比為3，
∴數(shù)列{b_n}的前n項的和S_n=$\frac{2（1-{3}^{n}）}{1-3}$=3ⁿ-1
故答案為：$\frac{13}{16}$；3ⁿ-1

點評 本題考查等差數(shù)列的求和公式，涉及等比數(shù)列的求和公式，屬中檔題．