Question

16．已知關(guān)于x的不等式|x-1|+|x-5|≤log₂a（其中a＞0）．
（1）當(dāng)a=64時(shí)，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=64時(shí)，原不等式為|x-1|+|x-5|≤6，分類討論求得它的解集．
（2）由條件利用絕對(duì)值三角不等式求得f（x）的最小值為4，可得log₂a≥4，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=64時(shí)，原不等式為|x-1|+|x-5|≤6，
當(dāng)x＜1時(shí)，原不等式為6-2x≤6，可得0≤x＜1；
當(dāng)1≤x≤5時(shí)，原不等式為4≤6，可得1≤x≤5；
當(dāng)x＞5時(shí)，2x-6≤6，得5＜x≤6，
∴原不等式的解集為{x|0≤x≤6}．
（2）設(shè)f（x）=|x-1|+|x-5|≥|x-1-x+5|=4，
∴f（x）∈[4，+∞），即f（x）的最小值為4，
若使f（x）≤log₂a有解，只需log₂a≥f（x）_min，即log₂a≥4，解得a≥16，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[16，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值三角不等式，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的能成立問題，對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于中檔題．