Question

2．設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax²+x-a（-1≤x≤1）．
（1）若|a|≤1，證明|f（x）|≤$\frac{5}{4}$；
（2）求a的值，使函數(shù)f（x）有最大值$\frac{17}{8}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)配方求出|f（x）|的最大值即可；（2）根據(jù)函數(shù)f（x）有最大值，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的最大值，解關(guān)于a的方程，即可求實數(shù)a的值．

解答 （1）證明：∵|x|≤1，|a|≤1，
∴|f（x）|=|a（x²-1）+x|≤|a（x²-1）|+|x|
=|a||（x²-1）|+|x|≤|x²-1|+|x|
=|1-x²|+|x|
=-${（|x|-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{5}{4}$≤$\frac{5}{4}$，
（2）當(dāng)a=0時，f（x）=x（|x|≤1）．
此時函數(shù)f（x）的最大值為1，不滿足條件；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）在x=1時，取最大值1，不滿足條件；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜a＜0時，函數(shù)f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）在x=1時，取最大值1，不滿足條件；
當(dāng)a≤-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）在x=-$\frac{a}{2}$時，取最大值 $\frac{-{4a}^{2}-1}{4a}$=$\frac{17}{8}$，
解得：a=-$\frac{1}{8}$（舍去），或a=-2，
綜上a=-2．

點評 本題考查函數(shù)的最值，考查解不等式，二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．