Question

若實數a、b、c、d滿足（b-elna）²+（c-d+3）²=0（其中e是自然底數），則（a-c）²+（b-d）²的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：由已知得到b=elna，d=c+3，構造函數y=elnx，y=x+3，得到（a-c）²+（b-d）²的表示y=elnx上的點到直線y=x+3上的點的距離平方；求出曲線y=elnx與y=x+3平行的切線的切點，利用點線距離公式得到答案．

解答： 解：∵（b-elna）²+（c-d+3）²=0，
∴b=elna，d=c+3，
設函數y=elnx，y=x+3，
∴（a-c）²+（b-d）²表示y=elnx上的點到直線y=x+3上的點的距離平方，
∵對于函數y=elnx，
∴y′=

e

x

，
令y′=

e

x

=1得x=e，
曲線y=elnx與y=x+3平行的切線的切點坐標為（e，e），
所以切點到直線y=x+3即x-y+3=0的距離為d=

|e-e+3|

2

=

3 2

2

，
所以（a-c）²+（b-d）²的最小值為(

3 2

2

)2=

9

2

，
故答案為：

9

2

．

點評：本題考查的是通過構造函數，將代數問題轉化為幾何問題，點到直線的距離公式，是一道中檔題．