Question

15．在△ABC中，AC=4$\sqrt{3}，∠ABC={60°}$，D為BC邊上一點，BD=AB，設B，C到直線AD的距離分別為d₁和d₂，則d₁+d₂的最大值為（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $4\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 直接根據直角三角函數的定義建立等式關系，利用基本不等式的性質求解即可．

解答 解：由題意△ABC中，AC=4$\sqrt{3}，∠ABC={60°}$，D為BC邊上一點，
BD=AB，
如圖：可知，△ABD是等邊三角形，
B到直線AD的距離為d₁，
可得AD=2d₁tan30°；
C到直線AD的距離為d₂，
可得DF=d₂tan30°；
∵△AFC是直角三角形，AC=4$\sqrt{3}$，
CF²+AF²=AC²，
即（2d₁tan30°+d₂tan30°）²+d₂²=48．
整理可得：${o5vdo2v_{1}}^{2}+ofscoq0_{1}su0b57c_{2}+{yokjtte_{2}}^{2}=36$．
則$（xd7wur7_{1}+zpnpnll_{2}）^{2}-36=5g2kufd_{1}p5rrcdc_{2}$，
∵$oeqqqqe_{1}o0qannz_{2}≤\frac{（jtade0k_{1}+uit7ddb_{2}）^{2}}{4}$（當且僅當d₁=d₂的時，取等號）
∴d₁+d₂≤$4\sqrt{3}$．
故選C．

點評 本題考查了三角函數的定義在直角三角形中的運用和基本不等式的性質求解最值的運用．屬于中檔題．