Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x+2）=f（x-2），且當x∈[-2，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）有3個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． （2，+∞）
• C． （1，$\root{3}{4}$）
• D． （$\root{3}{4}$，2）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性可以得到函數(shù)是周期函數(shù)，然后將方程轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合以及兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，求得$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{a}4＜3}\\{{log}_{a}8＞3}\\{a＞1}\end{array}\right.$，由此求得a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x+2）=f（x-2），
∴f（x-2）=f（x+2）=f（2-x），即f（x）=f（x+4），即函數(shù)的周期是4．
當 x∈[0，2]時，-x∈[-2，0]，此時f（-x）=（$\frac{1}{2}$）^-x-1=f（x），即f（x）=2^x-1，
且當x∈[-2，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1．
分別作出函數(shù)f（x）（圖中黑色曲線）和y=log_a（x+2）（圖中紅色曲線）圖象如圖：
由在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）有3個不同的實數(shù)根，
可得函數(shù)f（x）和y=log_a（x+2）圖象有3個交點，
故有$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{a}4＜3}\\{{log}_{a}8＞3}\\{a＞1}\end{array}\right.$，求得$\root{3}{4}$＜a＜2，
故選：D．

點評 本題主要考查方程根的個數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性的性質(zhì)求出函數(shù)的周期性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，屬于中檔題．