Question

4．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，若$2{a_{n+1}}-{a_n}=\frac{n-2}{{n（{n+1}）（{n+2}）}}$，${b_n}={a_n}-\frac{1}{{n（{n+1}）}}$，
（1）求證：{b_n}為等比數(shù)列，并求出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若C_n=nb_n，且其前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）由$2{a_{n+1}}-{a_n}=\frac{n-2}{{n（{n+1}）（{n+2}）}}$，${b_n}={a_n}-\frac{1}{{n（{n+1}）}}$，可得a_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$+$\frac{n-2}{2n（n+1）（n+2）}$．計(jì)算$\frac{_{n+1}}{_{n}}$為非0常數(shù)．
（2）C_n=nb_n=n×$（\frac{1}{2}）^{n}$．利用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 證明：（1）∵$2{a_{n+1}}-{a_n}=\frac{n-2}{{n（{n+1}）（{n+2}）}}$，${b_n}={a_n}-\frac{1}{{n（{n+1}）}}$，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$+$\frac{n-2}{2n（n+1）（n+2）}$．
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{n-2}{2n（n+1）（n+2）}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}}{{a}_{n}-\frac{1}{n（n+1）}}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}_{n}-\frac{1}{2}×\frac{1}{n（n+1）}}{{a}_{n}-\frac{1}{n（n+1）}}$=$\frac{1}{2}$．
∴{b_n}為等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{2}$，首項(xiàng)為a₁-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
∴b_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$+$\frac{1}{n（n+1）}$．
（2）C_n=nb_n=n×$（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴T_n=$\frac{1}{2}+2×\frac{1}{{2}^{2}}$+3×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+2×\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}$+…+$（\frac{1}{2}）^{n}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$．
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$＜2．

點(diǎn)評 本題考查了錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．