Question

11．已知拋物線(xiàn)C：y²=-2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，在拋物線(xiàn)C上存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)F關(guān)于M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M'（$\frac{2}{5}$，$\frac{8}{5}$），且|MF|=1．
（1）求拋物線(xiàn)C的方程；
（2）若直線(xiàn)MF與拋物線(xiàn)C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)y軸上一點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)關(guān)系求出M點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程即可得出p；
（2）求出直線(xiàn)MN的方程，聯(lián)立方程組解出N點(diǎn)坐標(biāo)，得出圓的方程，從而得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（-$\frac{p}{2}$，0），
設(shè)M（x₀，y₀），∵F和M′關(guān)于M對(duì)稱(chēng)，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{1}{5}-\frac{p}{4}}\\{{y}_{0}=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$．
代入拋物線(xiàn)方程得25p²-20p-32=0．解得p=$\frac{8}{5}$或p=-$\frac{4}{5}$（舍）．
∴拋物線(xiàn)方程為：y²=-$\frac{16}{5}$x．
（2）由（1）知M（-$\frac{1}{5}$，$\frac{4}{5}$），F(xiàn)（-$\frac{4}{5}$，0）．
∴直線(xiàn)MF的方程為$\frac{y}{\frac{4}{5}}=\frac{x+\frac{4}{5}}{-\frac{1}{5}+\frac{4}{5}}$，即y=$\frac{4}{3}x+\frac{16}{15}$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+\frac{16}{15}}\\{{y}^{2}=-\frac{16}{5}x}\end{array}\right.$，消元得：25y²+60y-64=0．
∴N（-$\frac{16}{5}$，-$\frac{16}{5}$）．
∴MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{17}{10}$，-$\frac{6}{5}$）．|MN|=$\sqrt{（-\frac{1}{5}+\frac{16}{5}）^{2}+（\frac{4}{5}+\frac{16}{5}）^{2}}$=5．
∴以MN為直徑的圓的方程為（x+$\frac{17}{10}$）²+（y+$\frac{6}{5}$）²=$\frac{25}{4}$．
令x=0得y=-$\frac{6}{5}$±$\frac{2\sqrt{21}}{5}$．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{6+2\sqrt{21}}{5}$）或（0，-$\frac{6-2\sqrt{21}}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，屬于中檔題．