Question

17．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$（sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$）．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先整理函數解析式，再根據正弦函數的單調性以及最小正周期的求法即可得到問題的結論．
（Ⅱ）由（I）的解析式，結合三角函數的單調性求函數在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）因為f（x）=$\frac{1}{2}$（sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
所以函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈Z，
所以函數f（x）的單調遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}$+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
則sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，所以f（x）∈[0，1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
于是當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，函數f（x）的取值范圍為[0，1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

點評 本題考查三角函數恒等變換化簡函數解析式及利用求周期的公式求周期，以及根據三角函數的單調性求三角函數的值域，屬于三角函數的基礎題，考查的知識點點相當全面，知識性較強．