Question

15．已知函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）對于函數(shù)f（x），當x∈（-1，1）時，f（1-m）+f（2-m）≥0，求實數(shù)m．

Answer 1

分析 （1）利用奇偶性的定義判斷f（x）為奇函數(shù)；
（2）直接運用單調(diào)性的定義作差證明f（x）為增函數(shù)；
（3）運用函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性列出不等式組求解．

解答 解：（1）∵f（x）=2^x-$\frac{1}{2^x}$=2^x-2^-x，∴f（x）的定義域為R，
且f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），因此，f（x）為奇函數(shù)；
（2）f（x）為R上的增函數(shù)，證明過程如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{-{x}_{1}}$）-（${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{-x}_{2}}$）
=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）+（${2}^{{-x}_{2}}$-${2}^{-{x}_{1}}$）=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）[1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$]，
∵x₁＜x₂，所以，${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，∴f（x₁）-f（x₂）＜0恒成立，
即f（x）為R上的增函數(shù)；
（3）因為，f（x）為R上的奇函數(shù)，增函數(shù)，
所以，f（1-m）+f（2-m）≥0可化為：f（1-m）≥f（m-2），
該不等式等價為：$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-m＜1}\\{-1＜2-m＜1}\\{1-m≥m-2}\end{array}\right.$，解得，m∈（1，$\frac{3}{2}$]，
即實數(shù)m的取值范圍為（1，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷和證明，以及函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合應用，屬于中檔題．