Question

在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，∠ABC=90°，且SA=AB，點M是SB的中點，AN⊥SC且交SC于點N．
（1）求證：SC⊥平面AMN；
（2）當AB=BC=1時，求三棱錐M-SAN的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）依題意，可證得CB⊥平面SAB，從而可證CB⊥AM；由SA=AB，點M是SB的中點可證得AM⊥SB，而CB∩SB=B，從而AM⊥平面SCB⇒AM⊥SC，進一步可證SC⊥平面AMN，利用面面垂直的判斷定理即可證得結論．
（2）利用（1）的結果，通過數(shù)據(jù)關系，求出AM，MN，SN，然后求出棱錐的體積．

解答： 解：（1）證明：∵SA⊥平面ABC，
∴SA⊥CB
∵ABC直角三角形，
∴CB⊥AB，且SA∩AB=A，
∴CB⊥平面SAB，
∴CB⊥AM
∵SA=AB，M為SB的中點，
∴AM⊥SB，且CB∩SB=B，
∴AM⊥平面SCB，
∴AM⊥SC   
又∵SC⊥AN，且AN∩AM=A，
∴SC⊥平面AMN．
（2）由（1）可知∠AMN=∠SNM=∠SNA=90°，
∵SA=AB=BC=1，
∴AM=SM=MB=

2

2

，SC=

3

，MN=

BC•SM

SC

=

6

6

．SN=

SB•SM

SC

=

3

3

．
SC⊥平面AMN，
∴三棱錐M-SAN的體積：

1

3

×

1

2

×AM•MN•SN=

1

3

×

1

2

×

2

2

×

6

6

×

3

3

=

1

36

．

點評：本題重點考查了空間中直線與平面垂直，直線與直線垂直等位置關系，解題關鍵是線面垂直和線線垂直的相互轉化，棱錐體積的求法，屬于中檔題．