Question

16．已知（$\frac{1}{2}$-ix）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰（i為虛數(shù)單位），則a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{4}$+…+$\frac{{a}_{10}}{{2}^{10}}$=$-\frac{i}{32}$．

Answer 1

分析 利用賦值法，以及二項(xiàng)式定理的簡單性質(zhì)，求解即可．

解答 解：（$\frac{1}{2}$-ix）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰（i為虛數(shù)單位），
令x=$\frac{1}{2}$，可得（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$i）¹⁰=a₀+$\frac{1}{2}$a₁+$\frac{1}{4}$a₂+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$a₁₀（i為虛數(shù)單位），
而（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$i）¹⁰=$\frac{{[（1-i）}^{2}]^{5}}{{2}^{10}}$=$\frac{{[-2i]}^{5}}{{2}^{10}}$=$-\frac{i}{32}$．
故答案為：$-\frac{i}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，賦值法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．