Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{e^x}{{{x^2}+2x+b}}$的定義域是R，且有極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）求證：方程f（x）=$\frac{1}{2}$恰有一個(gè)實(shí)根．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，定義域是R，知4-4b＜0得b＞1；由f'（x）=0得x²=2-b≥0，故b≤2．當(dāng)b=2時(shí)，$f'（x）=\frac{{{x^2}{e^x}}}{{{{（{{x^2}+2x+2}）}^2}}}≥0$，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為$m=-\sqrt{2-b}∈（{-1，0}）$，$n=\sqrt{2-b}∈（{0，1}）$，說(shuō)明$f（x）=\frac{1}{2}$在（m，+∞）上無(wú)解，$f（x）=\frac{1}{2}$在（-∞，m）上恰有一解．

解答 （Ⅰ）解：由$f（x）=\frac{e^x}{{{x^2}+2x+b}}$的定義域是R，知4-4b＜0得b＞1.$f'（x）=\frac{{{e^x}（{{x^2}+2x+b-2x-2}）}}{{{{（{{x^2}+2x+b}）}^2}}}=\frac{{{e^x}（{{x^2}+b-2}）}}{{{{（{{x^2}+2x+b}）}^2}}}$，
由f'（x）=0得x²=2-b≥0，故b≤2．
當(dāng)b=2時(shí)，$f'（x）=\frac{{{x^2}{e^x}}}{{{{（{{x^2}+2x+2}）}^2}}}≥0$，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)．
∴所求范圍為1＜b＜2．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為$m=-\sqrt{2-b}∈（{-1，0}）$，$n=\sqrt{2-b}∈（{0，1}）$，

x	（-∞，m）	m	（m，n）	n	（n，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

極小值$f（n）=\frac{e^n}{{{n^2}+2n+b}}=\frac{e^n}{{（{2-b}）+2n+b}}=\frac{e^n}{2n+2}$．（下面證明$\frac{e^n}{2n+2}＞\frac{1}{2}$）
記g（x）=e^x-（x+1）（0≤x＜1），g'（x）=e^x-1≥0
∴g（x）在[0，1）上是單調(diào)遞增函數(shù)
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞g（0）=0，即e^x＞x+1
由$n=\sqrt{2-b}∈（{0，1}）$知，$\frac{e^n}{2n+2}＞\frac{n+1}{2n+2}=\frac{1}{2}$．
這說(shuō)明$f（x）=\frac{1}{2}$在（m，+∞）上無(wú)解．
又$f（{-2}）=\frac{{{e^{-2}}}}＜\frac{1}{e^2}＜\frac{1}{2}$，$f（m）＞f（n）＞\frac{1}{2}$，且f（x）在（-∞，m）上單調(diào)遞增，
∴$f（x）=\frac{1}{2}$在（-∞，m）上恰有一解
綜上所述，$f（x）=\frac{1}{2}$在R上恰有一解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．