Question

已知無窮整數(shù)數(shù)集A={a₁，a₂，a₃，…，a_n，…}（a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n＜…）具有性質(zhì)P：對任意互不相等的正整數(shù)i，j，k，總有a_i+|a_k-a_j|∈A．
（Ⅰ）若{1，21}⊆A且5∉A，判斷13是否屬于A，并說明理由；
（Ⅱ）求證：a₁，a₂，a₃，…，a_n，…是等差數(shù)列；
（Ⅲ）已知x，y∈N且y＞x＞0，記 M是滿足{0，x，y}⊆A的數(shù)集A中的一個，且是滿足{0，x，y}⊆A的所有數(shù)集A的子集，求證：x，y互質(zhì)是M=N的充要條件．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）13∉A，利用反證法即可判斷；
（Ⅱ）a_k+a_k+2-a_k+1∈A且a_k＜a_k+a_k+2-a_k+1＜a_k+2，可得a_k+1=a_k+a_k+2-a_k+1，即可證明結論；
（Ⅲ）設a_i=0，a_j=x，a_k=y，i＜j＜k，則y=（k-i）d，x=（j-i）d，分充分性、必要性證明即可．

解答： （Ⅰ）解：13∉A．
設13∈A，則由{1，21}⊆A，性質(zhì)P可得1+|13-9|=5∈A，與5∉A矛盾，∴13∉A；

（Ⅱ）證明：對任意k+2≤n，由性質(zhì)P可得a_k+a_k+2-a_k+1∈A，
∵a_k＜a_k+1＜a_k+2，
∴a_k+a_k+2-a_k+1∈A且a_k＜a_k+a_k+2-a_k+1＜a_k+2，
∴a_k+1=a_k+a_k+2-a_k+1，
∴2a_k+1=a_k+a_k+2，
∴a₁，a₂，a₃，…，a_n是等差數(shù)列；

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，a₁，a₂，a₃，…，a_n公差為d，且d∈Z
設a_i=0，a_j=x，a_k=y，i＜j＜k，則y=（k-i）d，x=（j-i）d，
首先證明：x，y互質(zhì)是M=N的充分條件．
∵x，y互質(zhì)，∴d=1，
∵M是滿足{0，x，y}⊆A的所有數(shù)集A的子集，
∴M=N；
其次證明x，y互質(zhì)是M=N的必要條件．
假設x，y不互質(zhì)，則x，y有大于1的因數(shù)p，
∴滿足條件A={a₁，a₂，a₃，…，a_n，…}中的元素所構成的數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_n，…的公差d可以取1，也可以取p，
此時A={0，p，2p，…，（n-1）p，…}滿足條件，且={0，p，2p，…，（n-1）p，…}?N，
與M=N矛盾，
∴x，y互質(zhì)，
∴x，y互質(zhì)是M=N的充要條件．

點評：本題考查數(shù)列的應用，考查學生對新定義的理解，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．