Question

已知各項為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}滿足a3•a7=32，a2+a8=12，且bn=2an(n∈N*)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=a_n+b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）（方法一）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意可得

(a1+2d)(a1+6d)=32 2a1+8d=12

，結(jié)合a_n＞0可知d＞0，從而可求d，進而可求通項
（方法二）由等差數(shù)列的性質(zhì)可知a₂+a₈=a₃+a₇，結(jié)合a₃•a₇=32可求a₃，a₇，進而可求公差d，從而可求通項
（II）由題意可得bn=2an=2ⁿ⁺¹，從而可得c_n=a_n+b_n=n+1+2ⁿ⁺¹，利用分組求和及等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式可求

解答：解：（I）（方法一）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d
則

(a1+2d)(a1+6d)=32 2a1+8d=12

聯(lián)立方程，消去a₁可得，9-d²=8
∴d²=1
∴d=±1（4分）
由a_n＞0可知公差d＞0
∴d=1
∴a₁=2
∴a_n=n+1（6分）
（方法二）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，a₂+a₈=a₃+a₇=12
∵a₃•a₇=32
∴

a3+a7=12 a3•a7=32

解方程可得，

a3=4 a7=8

或

a3=8 a7=4

（4分）
∵a_n＞0
∴d＞0，
∴

a3=4 a7=8

由等差數(shù)列的通項公式可得，d=

a7-a3

7-3

=

8-4

7-3

=1
∴等差數(shù)列的通項公式為：a_n=a₃+（n-3）d=n+1（6分）
（II）由bn=2an=2ⁿ⁺¹
∴c_n=a_n+b_n=n+1+2ⁿ⁺¹
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）（9分）
=[2+3+…+（n+1）]+（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）
=

n(3+n)

2

+

4(1-2n)

1-2

=

n(n+3)

2

+2n+1-4（12分）

點評：本題 主要考查了等差數(shù)列的通項公式，求和公式，等比數(shù)列的求和公式及分組求和方法的應用，解題的關鍵是熟練掌握數(shù)列知識的基本方法．