Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$與函數(shù)g（x）=mlnx在點(diǎn)（1，0）處有公共的切線，設(shè)h（x）=ax-g（x）．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若h（x）在x=2處有極值，求h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a，使h（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由（1，0）在函數(shù)f（x）、g（x）的圖象上，得到f′（1）=g′（1），從而求出m的值；
（Ⅱ）先求出函數(shù)h（x）的表達(dá)式，通過求導(dǎo)得到函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使h（x）=ax-lnx在區(qū)間（0，e]上有最小值3，求出h′（x）=a-$\frac{1}{x}$，通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的值．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閒（1）=g（1）=0，
所以（1，0）在函數(shù)f（x）、g（x）的圖象上，
又f′x）=x，$g'（x）=\frac{m}{x}$
所以f′（1）=1，g′（1）=m，
所以m=1；
（Ⅱ）因?yàn)閔（x）=ax-g（x）=ax-mlnx，
所以h′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
又因?yàn)閔（x）在x=2處有極值，
所以h′（2）=a-$\frac{1}{2}$=0，
所以$a=\frac{1}{2}$，
經(jīng)檢驗(yàn)，$a=\frac{1}{2}$時，h（x）在x=2處有極值．
所以h（x）=$\frac{1}{2}$x-lnx，
令h′（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{x}$＜0，解得：x＜2，
因?yàn)閔（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
所以0＜x＜2，
即h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）．
（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使h（x）=ax-lnx在區(qū)間（0，e]上有最小值3，
由h′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
①當(dāng)a≤0時，h′（x）＜0，h（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，
h（x）_min=h（e）=ae-1=3，解得：a=$\frac{4}{e}$，舍去；
②當(dāng)a＞$\frac{1}{e}$即0＜$\frac{1}{a}$＜e時，h（x）在（0，$\frac{1}{a}$）單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{a}$，e]單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（$\frac{1}{a}$）=1+lna=3，解得：a=e²，滿足條件，
③當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{e}$即$\frac{1}{a}$＞e時，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，
h（x）_min=h（e）=ae-1=3，解得：a=$\frac{4}{e}$，舍去，
綜上，存在實(shí)數(shù)a=e²，使h（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是3．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，本題是一道中檔題．