Question

6．在正四面體ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，則下列結論錯誤的是（　�。�

• A． 異面直線AB與CD所成的角為90°
• B． 直線AB與平面BCD成的角為60°
• C． 直線EF∥平面ACD
• D． 平面AFD垂直平面BCD

Answer 1

分析 過A作AG⊥CD，則G為CD中點，連接AG，AF，BG，DF，則BG⊥CD，DF⊥BC，利用正四面體的性質對選項分別分析選擇．

解答 解：如圖過A作AG⊥CD，則G為CD中點，連接AG，AF，BG，DF，則BG⊥CD，DF⊥BC，
所以CD⊥平面ABG，所以CD⊥AB，故A正確；
正四面體ABCD中，A在平面BCD的射影為O，則O在BG上，并且O為△BCD的中心，則直線AB與平面BCD成的角為∠ABO，又BO=$\frac{2}{3}BG=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{3}AB$，即$\frac{BO}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$=sin∠ABO，所以∠ABO≠60°；故B錯誤；
正四面體ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，所以EF∥AC，EF?平面ACD，AC?平面ACD，所以EF∥平面ACD；故C正確；
因為幾何體為正四面體，所以A在底面BCD的射影為底面的中心，所以AO⊥平面BCD，AO?平面AFD，所以平面AFD⊥平面BCD；故D正確；
故選：B．

點評 本題以正四面體為載體，考查了線面平行、面面垂直的判定定理的運用以及空間角的求法；關鍵是轉化為線線關系解決．