Question

已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線l₁：x-y-2

2

=0相切；
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)（1，3）的直線與圓C交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2

3

，求此直線方程；
（3）若與直線l₁垂直的直線l與圓C交于不同的B、D兩點(diǎn)，且滿足∠BOD為鈍角，求直線l縱截距的取值范圍？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）由圓心（0，0）到直線l₁：x-y-2

2

=0距離為圓的半徑，由已知條件能求出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）圓心坐標(biāo)為C（0，0），半徑r=2，設(shè)直線方程y=k（x-1）+3，由圓心到直線的距離能求出滿足條件的直線方程．
（3）設(shè)直線方程為y=-x+b，聯(lián)立

y=-x+b x2+y2=4

，得2x²-2bx+b²-4=0，由此能求出直線l縱截距的取值范圍．

解答： 解：（1）根據(jù)題意：圓心（0，0）到直線l₁：x-y-2

2

=0距離為圓的半徑，
∴r=

2 2

2

=2，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+y²=4．
（2）圓心坐標(biāo)為C（0，0），半徑r=2，
∵|AB|=2

3

，∴圓心到直線l的距離d=

4-3

=1，
當(dāng)直線斜率存在，設(shè)為k，則直線方程y=k（x-1）+3，
即kx-y+3-k=0，
圓心到直線的距離為d=

|3-k|

1+k2

=1，
解得k=

4

3

，
∴直線方程為y=

4

3

(x-1)+3，即4x-3y+5=0．
綜上，滿足條件的直線方程為4x-3y+5=0或x=1．
（3）設(shè)直線方程為y=-x+b，
聯(lián)立

y=-x+b x2+y2=4

，得2x²-2bx+b²-4=0，
設(shè)直線l與圓的交點(diǎn)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得b²＜8，
∴x1+x2=b，x1x2=

b2-4

2

，①
∵∠BOD為鈍角，∴

OB

•

OD

＜0，即滿足x₁x₂+y₁y₂＜0，
且

OB

與

OD

不反向共線，
又y₁=-x₁+b，y₂=-x₂+b，
∴x1x2+y1y2=2x1x2-b(x1+x2)+b2＜0，②
由①②得b²＜4，滿足△＞0，即-2＜b＜2，
當(dāng)

OB

與

OD

反向共線時(shí)，直線y=-x+b過原點(diǎn)，此時(shí)b=0，不滿足題意，
∴直線l縱截距的取值范圍是-2＜b＜2，且b≠0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線的截距的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線距離的合理運(yùn)用．