Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，

   （1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

   （2）令，是否存在實數(shù)，當(dāng)（是自然常數(shù)）時，函數(shù)的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

   （3）當(dāng)時，證明： ．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）存在實數(shù)，使得當(dāng)時有最小值3．

（3）略

【解析】解：（1）在上恒成立，

    令 ，有  得       ……………… 3分

    得                                               ………………4分

   （2）假設(shè)存在實數(shù)，使（）有最小值3，

                                       ………………5分

    ①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，（舍去），

    ②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

    ，，滿足條件． 

    ③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，（舍去），

    綜上，存在實數(shù)，使得當(dāng)時有最小值3． ………………8分

    （3）令，由（2）知，

    ．令，，

    當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增 

    ∴ 

     即．       ………………12分