Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，實(shí)軸長(zhǎng).

（1）求雙曲線(xiàn)的方程

（2）若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且為銳角(其中為原點(diǎn))，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）依題意先設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，依據(jù)題中條件得到、的值，進(jìn)而由得到的值，進(jìn)而寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的方程即可；（2）設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的方程，消去得到，依題意得到，且，要使為銳角，只須即可，從而只須將進(jìn)行坐標(biāo)化并將代入，得到，結(jié)合、及即可得出的取值范圍.

試題解析：（1）依題意可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為

則有且，所以，

所以該雙曲線(xiàn)的方程為

（2）

設(shè)

，即

綜上：.

考點(diǎn)：1.雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題；3.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.