Question

8．函數(shù)f（x）=$\frac{2x+1}{x+1}$．
（1）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在[3，5]上最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）分離常數(shù)得到f（x）=$2-\frac{1}{x+1}$，根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性便可看出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（-1，+∞），根據(jù)單調(diào)性的定義證明：設(shè)任意的x₁，x₂≠-1，且x₁＜x₂，然后作差，通分，說(shuō)明x₁，x₂∈（-∞，-1），或x₁，x₂∈（-1，+∞）上時(shí)都有f（x₁）＜f（x₂），這樣即可得出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)f（x）的單調(diào)性便知f（x）在[3，5]上單調(diào)遞增，從而可以求出f（x）的值域，從而可以得出f（x）在[3，5]上的最大、最小值．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{2（x+1）-1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$；
該函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠-1}，設(shè)x₁，x₂∈{x|x≠-1}，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{x}_{2}+1}-\frac{1}{{x}_{1}+1}=\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0；
∴x₁，x₂∈（-∞，-1）時(shí)，x₁+1＜0，x₂+1＜0；x₁，x₂∈（-1，+∞）時(shí)，x₁+1＞0，x₂+1＞0；
∴（x₁+1）（x₂+1）＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調(diào)遞增，即f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（-1，+∞）；
（2）由上面知f（x）在[3，5]上單調(diào)遞增；
∴f（3）≤f（x）≤f（5）；
∴$\frac{7}{4}≤f（x）≤\frac{11}{6}$；
∴f（x）在[3，5]上的最大值為$\frac{11}{6}$，最小值為$\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 考查分離常數(shù)法的運(yùn)用，反比例函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性的定義找函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法和過(guò)程，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．