Question

如圖，在四棱柱P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．
（I）當(dāng)正視方向與向量的方向相同時(shí)，畫出四棱錐P-ABCD的正視圖（要求標(biāo)出尺寸，并寫出演算過(guò)程）；
（II）若M為PA的中點(diǎn)，求證：DM∥平面PBC；
（III）求三棱錐D-PBC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E為垂足，則四邊形ADCE為矩形，可得AE=CD=3．由勾股定理求得BE=3，可得AB=6．
由直角三角形中的邊角關(guān)系求得PD=AD•tan60°的值，從而得到四棱錐P-ABCD的正視圖．
（II）取PB得中點(diǎn)為N，證明MNCD為平行四邊形，故DM∥CN．再由直線和平面平行的判定定理證得故DM∥平面PBC．
（III）根據(jù)三棱錐D-PBC的體積V_D-PBC=V_P-BCD=S_△BCD•PD=（S_梯形ABCD-S_△ABD）•PD，運(yùn)算求得結(jié)果．
解答：解：（I）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E為垂足，則四邊形ADCE為矩形，∴AE=CD=3．
直角三角形BCE中，∵BC=5，CE=AD=4，由勾股定理求得BE=3，∴AB=6．
在直角三角形PAD中，∵∠PAD=60°，AD=4，∴PD=AD•tan60°=4，四棱錐P-ABCD的正視圖如圖所示：
（II）∵M(jìn)為PA的中點(diǎn)，取PB得中點(diǎn)為N，則MN平行且等于AB，再由CD平行且等于AB，可得MN和CD平行且相等，
故MNCD為平行四邊形，故DM∥CN．
由于DM 不在平面PBC內(nèi)，而CN在平面PBC內(nèi)，故DM∥平面PBC．
（III）三棱錐D-PBC的體積V_D-PBC=V_P-BCD=S_△BCD•PD=（S_梯形ABCD-S_△ABD）•PD
=[-]×4=8．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖，直線和平面平行的判定定理，用等體積法求三棱錐的體積，屬于中檔題．