Question

17．在二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中，只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，把展開(kāi)式中所有的項(xiàng)重新排成一列，則有理項(xiàng)不相鄰的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{5}{12}$

Answer 1

分析 由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得到n的值，由通項(xiàng)公式可得展開(kāi)式中的有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求出9項(xiàng)的全排列數(shù)，由插空排列求出有理項(xiàng)都互不相鄰的排列數(shù)，最后由古典概型概率計(jì)算公式得答案．

解答 解：∵二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中，只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
∴二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開(kāi)式共有9項(xiàng)，則n=8．
其通項(xiàng)為T(mén)_k+1=${C}_{8}^{k}$•（$\sqrt{x}$）^8-k•（$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）^k=$\frac{1}{{2}^{k}}$•${C}_{8}^{k}$•$\frac{16-3k}{4}$，
當(dāng)r=0，4，8時(shí)，項(xiàng)為有理項(xiàng)．
展開(kāi)式的9項(xiàng)全排列共有 ${A}_{9}^{9}$種，
有理項(xiàng)互不相鄰可把6個(gè)無(wú)理項(xiàng)全排，把3個(gè)有理項(xiàng)在形成的7個(gè)空中插孔即可，有 ${A}_{6}^{6}$•${A}_{7}^{3}$種．
∴有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為$\frac{{A}_{6}^{6}{•A}_{7}^{3}}{{A}_{9}^{9}}$=$\frac{5}{12}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用古典概型概率計(jì)算公式求概率，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于要求相鄰的元素要采用捆綁法，對(duì)于不相鄰的元素要采用插空法，屬于中檔題．