Question

函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，函數(shù)的解析式為f(x)=

2

x

-1．
（1）用定義證明f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（2）求當(dāng)x＜0時，函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）用函數(shù)的單調(diào)性定義證明f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（2）應(yīng)用偶函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=f（x），與x＞0時f（x）的解析式，可以求出x＜0時f（x）的解析式．

解答：解：（1）證明：∵f(x)=

2

x

-1，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂；
則f（x₁）-f（x₂）=（

2

x1

-1）-（

2

x2

-1）=

2(x2-x1)

x1x2

；
∵0＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（2）當(dāng)x＜0時，-x＞0，
∵x＞0時，f(x)=

2

x

-1，
∴f（-x）=

2

-x

-1=-

2

x

-1，
又∵f（x）是R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）
∴f（x）=-

2

x

-1；
即x＜0時，f（x）=-

2

x

-1．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性定義與偶函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．