Question

14．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+（a-1）x+a．
（1）函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1-（a-1）{x}^{2}}{x}$在（2，3）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{1-a}{2a}≥-1}\end{array}\right.$，由此求得a的范圍．
（2）令g′（x）=0，求得x=$\root{3}{\frac{1}{2a}}$．再根據(jù)g（x）在（2，3）上是增函數(shù)，可得在（2，3）上，g′（x）＞0，即2ax³-1＞0，故有2a•2³-1≥0，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）=ax²+（a-1）x+a在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，
可得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{1-a}{2a}≥-1}\end{array}\right.$，求得a≤-1．
（2）由于函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1-（a-1）{x}^{2}}{x}$=ax²+$\frac{1}{x}$+a，則g′（x）=2ax-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2{a•x}^{3}-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，求得x=$\root{3}{\frac{1}{2a}}$．
再根據(jù)g（x）在（2，3）上是增函數(shù)，可得在（2，3）上，g′（x）＞0，即2ax³-1＞0，∴a＞0．
再根據(jù)函數(shù)y=2ax³-1在R上是增函數(shù)，故只要g′（2）=2a•2³-1≥0即可，求得a≥$\frac{1}{16}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．