Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+ln（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$ax）-ax（a為常數(shù)，a＞0）
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）有兩個不同的零點x₁，x₂，證明：f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的導數(shù)，判斷函數(shù)f（x）的單調性，并求出單調區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）有2個不同的零點x₁，x₂，得f（x₁）=f（x₂）=0，求出導函數(shù)f′（x）以及f′（x）=0的函數(shù)f（x）的極值點，
利用函數(shù)f（x）的圖象與性質證明f′（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）＜0．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=x²+ln（$\frac{1}{2}$+x）-2x（且x＞-$\frac{1}{2}$），
則f′（x）=$\frac{{2x}^{2}+x+1}{x+\frac{1}{2}}$-2=$\frac{{2x}^{2}-x}{x+\frac{1}{2}}$；
令f′（x）=0，解得x=0，或x=$\frac{1}{2}$，∴當x∈（-$\frac{1}{2}$，0）時，f′（x）＞0，
當x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，f′（x）＜0，
當x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時，f′（x）＞0；
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（-$\frac{1}{2}$，0），（$\frac{1}{2}$，+∞），
f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$）；
（2）證明：由f（x）=x²+ln（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ax）-ax（且x＞-$\frac{1}{a}$），
得f′（x）=2x+$\frac{a}{1+ax}$-a=$\frac{2x（1+ax）+a-a（1+ax）}{1+ax}$=$\frac{x[2ax-{（a}^{2}-2）]}{1+ax}$，
令f′（x）=0，解得x₃=0，或x₄=$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$；
∵f（x）有兩個不同的零點x₁、x₂，且f（x₃）=f（0）＜0，
當x→-$\frac{1}{a}$時，f（x）→-∞，當x→+∞，f（x）→+∞，如圖所示；
∴f（$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$）=0，且$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$＜0，即0＜a²＜2；
令x₁=$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$，則x₂＞0，
令x₀=-$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$=$\frac{2{-a}^{2}}{2a}$，
則f（x₀）=${（\frac{2{-a}^{2}}{2a}）}^{2}$+ln（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$a$\frac{2{-a}^{2}}{2a}$）+$\frac{{a}^{2}-2}{2}$①，
f（$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$）=${（\frac{{a}^{2}-2}{2a}）}^{2}$+ln（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$a$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$）-$\frac{{a}^{2}-2}{2}$②，
由①-②得，f（x₀）-0=ln$\frac{4{-a}^{2}}{{a}^{2}}$+a²-2，
∴f（x₀）=ln$\frac{4{-a}^{2}}{{a}^{2}}$+a²-2＞0；
∴x₀＞x₂，
∴$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$＜$\frac{{x}_{1}{+x}_{0}}{2}$=0，
∴f′（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）＜f（0）=0，
即f′（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）＜0．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與求函數(shù)的單調區(qū)間的問題，也考查了函數(shù)的零點的應用問題，考查了分析問題與解決問題的能力，是綜合性題目．