Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-1，（e為自然對數(shù)底數(shù)），g（x）=x³-ax+b，g（x）的導(dǎo)函數(shù)為g′（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（2x）-2x的最小值．
（Ⅱ）記h（x）=3f（x+2n+1）-n[g′（x）+12x+a+60b]，條件①：對任意x∈[-1，1]，有g(shù)（x）≥0；條件②：存在唯一實數(shù)x₀，使h（x₀）=h′（x₀）=0，若①、②同時成立，求g（x）、h（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出最小值；
（Ⅱ）求出g′（x），得到h（x）再求導(dǎo)，根據(jù)條件②得到方程組，繼而得${{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+20b-4=0$（*），根據(jù)判別式求出b的值，繼而得到函數(shù)h（x）的解析式，
再根據(jù)條件①，進行分類討論，利用函數(shù)最值求出a的值，函數(shù)g（x）的解析式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）∵y=f（2x）-2x，
∴y′=2e^2x-1-2，
由y′≤0，得到x≤$\frac{1}{2}$，∴函數(shù)y在（-∞，$\frac{1}{2}$）上為減函數(shù)，
由y′＞0，得到x＞$\frac{1}{2}$，∴函數(shù)y在（$\frac{1}{2}$，+∞）上為增函數(shù)，
∴x=$\frac{1}{2}$時，y_min=0；
（Ⅱ）∵g′（x）=3x²-a，
∴h（x）=3e^x+2n-3n（x²+4x+20b），
∴h′（x）=3e^x+2n-3n（2x+4），
由條件②得$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}+2n}=n（2{x}_{0}+4），（i）}\\{{e}^{{x}_{0}+2n}=n（{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}+20b），（ii）}\end{array}\right.$
∴n（${{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}+20b$）=n（2x₀+4），
由（i）知n≠0，
∴${{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}+20b$=2x₀+4，
即${{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+20b-4=0$（*），
由條件（2）知，方程（*）的判別式△=4-4（20b-4）=0，
∴b=$\frac{1}{4}$，x₀=-1，
代入（i）有e^2n-1-2n=0，由第（I）小題知，函數(shù)y=e^2x-1-2x有最小值0，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{2}$取到最小值0，
∴方程e^2n-1-2n=0有唯一解n=$\frac{1}{2}$，
∴h（x）=3e^x+1-$\frac{3}{2}$（x²+4x+5），
由b=$\frac{1}{4}$得g（x）=x³-ax+$\frac{1}{4}$，
∴g′（x）=3x²-a，當(dāng)a≤0時，g′（x）＞0，
∴g（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
由條件①知，只需g（-1）≥0即a≥$\frac{3}{4}$，這與a≤0矛盾；
當(dāng)a＞0時，由g′（x）＞0，得到x＜-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，或x＞$\sqrt{\frac{a}{3}}$，
由g′（x）≤0，得到-$\sqrt{\frac{a}{3}}$≤x≤$\sqrt{\frac{a}{3}}$，
因此若a≥3，x∈[-1，1]時g′（x）≤0，
∴g（x）在[-1，1]上為減函數(shù)由條件①知只需g（1）≥0即a≤$\frac{5}{4}$，這與a≥3矛盾；
若0＜a＜3時，
∵-$\sqrt{\frac{a}{3}}$＞-1，$\sqrt{\frac{a}{3}}$＜1，
∴-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\sqrt{\frac{a}{3}}$分別是（-1，1）內(nèi)的極大值點，極小值點
由條件①知只需$\left\{\begin{array}{l}{g（\sqrt{\frac{a}{3}}）≥0}\\{g（-1）≥0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{3}{4}$，與0＜a＜3相符，
∴g（x）=x³-$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{4}$，
綜上可得：g（x）=x³-$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{4}$，h（x）=3e^x+1-$\frac{3}{2}$（x²+4x+5）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性極值最值的關(guān)系，考查了分類討論的思想，劃歸思想，方程思想，培養(yǎng)了學(xué)生得運算能力，推理論證能力，屬于難題．