Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=x•|x-a|（a∈R）．
（1）判斷函數(shù)f（x）奇偶性，并說明理由；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，2]時，不等式f（x）≤2恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對a討論，可得當(dāng)a=0時，f（x）為奇函數(shù)；當(dāng)a≠0時，f（x）為非奇非偶函數(shù)．再由奇偶性的定義，即可得到結(jié)論；
（2）由題意可得|a-x|≤$\frac{2}{x}$，即x-$\frac{2}{x}$≤a≤x+$\frac{2}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，分別求得函數(shù)x-$\frac{2}{x}$的最大值，x+$\frac{2}{x}$的最小值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）為奇函數(shù)；當(dāng)a≠0時，f（x）為非奇非偶函數(shù)．
理由：當(dāng)a=0時，f（x）=x|x|，f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)a≠0時，f（-x）=-x|-x-a|=-x|x+a|≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
則f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，2]時，不等式f（x）≤2恒成立，
即為|a-x|≤$\frac{2}{x}$，即x-$\frac{2}{x}$≤a≤x+$\frac{2}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，
由x-$\frac{2}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]遞增，可得x=2時，取得最大值1，；
由x+$\frac{2}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$）遞減，在（$\sqrt{2}$，2]遞增，可得x=$\sqrt{2}$處取得最小值2$\sqrt{2}$．
則a的范圍為1≤a≤2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，注意運用分類討論和定義，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．