Question

12．函數f（x）=x³+mx²+nx+1（m，n∈R）在區(qū)間[1，2]上單調遞增，則3m+n的最小值為-$\frac{15}{2}$．

Answer 1

分析 求導數，利用f（x）=x³+mx²+nx+1（m，n∈R）在區(qū)間[1，2]上單調遞增，3x²+2mx+n≥0在區(qū)間[1，2]上恒成立，可得$\left\{\begin{array}{l}{2m+n≥-3}\\{4m+n≥-12}\end{array}\right.$，利用3m+n=$\frac{1}{2}$（2m+n+4m+n），即可得出結論．

解答 解：∵f（x）=x³+mx²+nx+1，
∴f′（x）=3x²+2mx+n，
∵f（x）=x³+mx²+nx+1（m，n∈R）在區(qū)間[1，2]上單調遞增，
∴3x²+2mx+n≥0在區(qū)間[1，2]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+2m+n≥0}\\{12+4m+n≥0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+n≥-3}\\{4m+n≥-12}\end{array}\right.$，
∴3m+n=$\frac{1}{2}$（2m+n+4m+n）≥-$\frac{15}{2}$，
∴3m+n的最小值為-$\frac{15}{2}$．
故答案為：-$\frac{15}{2}$．

點評 本題考查函數的單調性，考查導數知識的綜合運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．