Question

19．已知函數(shù)f（x）=a（x+$\frac{1}{x}$）-|x-$\frac{1}{x}$|（x＞0），a∈R．
（1）若$a=\frac{1}{2}$，求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關于x的方程f（x）=t有四個不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，求實數(shù)a，t應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）將a=$\frac{1}{2}$代入，結合正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用導數(shù)法，分類討論，不同情況下y=f（x）的單調(diào)性，進而求出滿足條件的實數(shù)a，t的范圍．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}（x+\frac{1}{x}）-|{x-\frac{1}{x}}|=\left\{\begin{array}{l}\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}當\;0＜x≤1\;時\\ \frac{3}{2x}-\frac{x}{2}\;\;當\;x≥1\;時\end{array}\right.$，
（0，1）單調(diào)遞增，（1，+∞）單調(diào)遞減，最大值為f（1）=1．
（2）當a≤1時，f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，（1，+∞）單調(diào)遞減，不符合題意．
當a＞1時，f（x）在$（{0，\;\sqrt{\frac{a-1}{a+1}}}]$單調(diào)遞減，$[{\sqrt{\frac{a-1}{a+1}}，\;1}]$單調(diào)遞增；
在$[{1，\;\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}}]$單調(diào)遞減，$[{\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}，\;+∞}）$單調(diào)遞增；
$f（{\sqrt{\frac{a-1}{a+1}}}）=f（{\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}}）=2\sqrt{{a^2}-1}，\;f（1）=2a$，
所以實數(shù)a，t應滿足的條件為，$2\sqrt{{a^2}-1}＜t＜2a，\;a＞1$．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，根的存在性及判斷，函數(shù)的單調(diào)性，與函數(shù)的極值，綜合性強，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．