Question

10．已知關(guān)于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{1≤k{x}^{2}+2}\\{x+k≤2}\end{array}\right.$有唯一實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值集合{$1+\sqrt{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式ax²+bx+c≤M（a＜0）有唯一實(shí)數(shù)解，即最大值$\frac{^{2}-4ac}{4a}$=M；不等式ax²+bx+c≤M（a＞0）有唯一實(shí)數(shù)解？最小值$\frac{^{2}-4ac}{4a}$=M，可以判斷實(shí)數(shù)k的取值，要對參數(shù)k進(jìn)行分類討論，以確定不等式的類型，在各種情況中分別解答后，綜合結(jié)論即得最終結(jié)果．

解答 解：若k=0，不等式組1≤kx²+2x+k≤2可化為：1≤2x≤2，不滿足條件．
若k＞0，則若不等式組1≤kx²+2x+k≤2，$\frac{4-4{k}^{2}}{4k}$=2時(shí)，滿足條件．
此時(shí)解得：k=$1+\sqrt{2}$
若k＜0，則若不等式組1≤kx²+2x+k≤2，$\frac{4-4{k}^{2}}{4k}$=1時(shí)，滿足條件
此時(shí)解得：k=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
所以：實(shí)數(shù)k的取值集合{$1+\sqrt{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}
故答案為{$1+\sqrt{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}．

點(diǎn)評 本題考查了不等式ax²+bx+c≤M（a＜0）有唯一實(shí)數(shù)解，最大值$\frac{^{2}-4ac}{4a}$=M；不等式ax²+bx+c≤M（a＞0）有唯一實(shí)數(shù)解，最小值$\frac{^{2}-4ac}{4a}$=M．屬于基礎(chǔ)題．