Question

8．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且|QF|=$\frac{5}{4}|PQ|$
（1）求C的方程     
（2）過F的直線l與C相交于A，B兩點，計算$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$的值．

Answer 1

分析 （1）設Q（x₀，4），代入拋物線方程，結合拋物線的定義，可得p=2，進而得到拋物線方程；
（2）設過F的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理后，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據(jù)韋達定理可求得x₁x₂的值，又根據(jù)拋物線定義可知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1代入$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$可得其值．

解答 解：（1）設Q（x₀，4），代入由y²=2px（p＞0）中得x₀=$\frac{8}{p}$，
所以|PQ|=$\frac{8}{p}$，|QF|=$\frac{p}{2}$+$\frac{8}{p}$，
由題設得$\frac{p}{2}$+$\frac{8}{p}$=$\frac{5}{4}$×$\frac{8}{p}$，解得p=-2（舍去）或p=2．
所以C的方程為y²=4x．
（2）易知F坐標（1，0），設過F點直線方程為y=k（x-1）
代入拋物線方程，得 k²（x-1）²=4x．
化簡后為：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則有x₁x₂=1
根據(jù)拋物線性質(zhì)可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1
∴$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$=$\frac{{x}_{1}+1+{x}_{2}+1}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}+{x}_{2}+2}$=1．

點評 本題主要考查拋物線的應用和拋物線定義．對于過拋物線焦點的直線與拋物線關系，常用拋物線的定義來解決．