Question

14．已知點E是拋物線x²=2y的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點F為拋物線的焦點，P在拋物線上且滿足|PE|=m|PF|，當(dāng)m取最大值時，點P恰好在以E，F(xiàn)為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義，結(jié)合|PE|=m|PF|，可得$\frac{1}{m}$=$\frac{|PN|}{|PE|}$，設(shè)PAE的傾斜角為α，則當(dāng)m取得最大值時，sinα最小，此時直線PE與拋物線相切，求出P的坐標(biāo)，利用雙曲線的定義，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，
則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，
∵|PE|=m|PF|，
∴|PE|=m|PN，
∴$\frac{1}{m}$=$\frac{|PN|}{|PE|}$，
設(shè)PE的傾斜角為α，則sinα=$\frac{1}{m}$，
當(dāng)m取得最大值時，sinα最小，此時直線PE與拋物線相切，
設(shè)直線PE的方程為y=kx-1，代入x²=2y，可得x²=2（kx-1），
即x²-2kx+2=0，
∴△=4k²-8=0，∴k=±$\sqrt{2}$，
∴P（$\sqrt{2}$，1），
∴雙曲線的實軸長為PE-PF=$\sqrt{2}$-1，
∴雙曲線的離心率為$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}$+1．
故答案為：$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查雙曲線、拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解答此題的關(guān)鍵是明確當(dāng)m取得最大值時，sinα最小，此時直線PE與拋物線相切，屬中檔題．