Question

19．已知函數(shù)f（x）=e^x-x²（x＜0）與g（x）=x²-ln（a-x）的圖象上存在關于x軸的對稱點，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，e）
• B． $（{-∞，\frac{1}{e}}）$
• C． （-∞，2e）
• D． $（{-∞，\frac{1}{2e}}）$

Answer 1

分析 由題意可得f（x）＜1，方程e^x-x² =-[x²-ln（a-x）]存在負數(shù)解，即 e^x=ln（a-x）＜1，故有a-x＜e在（-∞，0）上能成立，即 a＜e+x在（-∞，0）上能成立，由此求得a的取值范圍．

解答 解：由f′（x）=e^x-2x＞0，可得f（x）=e^x-x² 在（-∞，0）上單調遞增，
由f（0）=1，可得f（x）＜1．
∵函數(shù)f（x）=e^x-x²（x＜0）與g（x）=x²-ln（a-x）的圖象上存在關于x軸的對稱點，
故方程e^x-x² =-[x²-ln（a-x）]存在負數(shù)解，即 e^x=ln（a-x）＜1，
∴a-x＜e在（-∞，0）上能成立，即 a＜e+x在（-∞，0）上能成立，故a＜e，
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)的值域，函數(shù)的能成立問題，屬于中檔題．