Question

1．定義在R上的函數(shù)f（x），滿足（x-1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）為偶函數(shù)，當|x₁-1|＜|x₂-1|時，有（　�。�

• A． f（x₁）≥f（x₂）
• B． f（x₁）=f（x₂）
• C． f（x₁）＞f（x₂）
• D． f（x₁）≤f（x₂）

Answer 1

分析 由y=f（x+1）為偶函數(shù)，可得y=f（x）關(guān)于x=1對稱．分三種情況進行討論：①當x₁≥1，x₂≥1時，則由|x₁-1|＜|x₂-1|可得f（x₁）＞f（x₂）；②當x₁＜1，x₂＜1時，同理可得f（x₁）＞f（x₂）；③當x₁＜1，x₂≥1時，同理得f（x₁）＞f（x₂）；綜上得到答案．

解答 解：因為函數(shù)y=f（x+1）為偶函數(shù)，所以y=f（x+1）=f（-x+1），
即函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=1對稱，所以f（2-x₁）=f（x₁），f（2-x₂）=f（x₂）．
當x＞1時，f'（x）≤0，此時函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞減，當x＜1時，f'（x）≥0，此時函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增．
①若x₁≥1，x₂≥1，則由|x₁-1|＜|x₂-1|，得x₁-1＜x₂-1，即1≤x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂）．
②同理若x₁＜1，x₂＜1，由|x₁-1|＜|x₂-1|，得-（x₁-1）＜-（x₂-1），即x₂＜x₁＜1，所以f（x₁）＞f（x₂）．
③若x₁，x₂中一個大于1，一個小于1，不妨設(shè)x₁＜1，x₂≥1，則-（x₁-1）＜x₂-1，
可得1＜2-x₁＜x₂，所以f（2-x₁）＞f（x₂），即f（x₁）＞f（x₂）．
綜上有f（x₁）＞f（x₂）．
故選C．

點評 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．