Question

已知四棱錐G-ABCD，四邊形ABCD是長為2a的正方形，DA⊥平面ABG，且GA=GB，BH⊥平面CAG，垂足為H，且H在直線CG上．
（1）求證：平面AGD⊥平面BGC；
（2）求三棱錐D-ACG的體積；
（3）求三棱錐D-ACG的內切球半徑．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,球的體積和表面積

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）過點B作平面AGC的垂線，垂足H在CG上，由ABCD是正方形，面ABCD⊥面ABG，由面面垂直的性質可得BC⊥面ABG，則BC⊥AG，又由BH⊥面AGC得BH⊥AG，由線面垂直的判定定理可得AG⊥面AGD后，可由面面垂直的判定定理得到面AGD⊥面BGC 
（2）△ABG中AG⊥BG且AG=BG，取AB中點E，連接GE，則GE⊥AB，利用等積法可得三棱錐D-ACG的體積；
（3）利用等體積求三棱錐D-ACG的內切球半徑．

解答： （1）證明：過點B作平面AGC的垂線，垂足H在CG上，則
∵ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，
∵面ABCD⊥面ABG，
∴BC⊥面ABG，
∵AG?面ABG，
∴BC⊥AG，
又BH⊥面AGC，
∴BH⊥AG，
又∵BC∩BH=B，
∴AG⊥面AGD，
∴面AGD⊥面BGC；
（2）解：由（1）知AG⊥面BGC，
∴AG⊥BG，
又AG=BG，
∴△ABG是等腰Rt△，取AB中點E，連接GE，則GE⊥AB
∴GE⊥面ABCD
∴V_D-ACG=V_G-ACD=

1

3

GE•S_△ACD=

1

3

•

1

2

•2a•

1

2

（2a）²=

2

3

a3；
（3）解：記三棱錐內切球的半徑為r，VG-ADC=

1

3

(S△DCG+S△AGC+S△DAG+S△ADC)•r=

2

3

a3，
△DCG中，DG=GC=

6

a，DC=2a，S_△DOG=

5

a2，
△ACG中，AC=2

2

a，GC=

6

a，AG=

2

a，S_△ACG=

3

a2，
△DAG中，DA=2a，AG=

2

a，S_△DAG=

2

a2，
△ADC中，S_△DAC=2a²
由VG-ADC=

1

3

(S△DCG+S△AGC+S△DAG+S△ADC)•r=

2

3

a3，
可得r=

2

5 + 3 + 2 +2

a．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，三棱錐的體積，其中（1）要熟練掌握空間中線線垂直，線面垂直及面面垂直之間的相互轉化，屬于中檔題．