Question

已知在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，若二面角C-AB-C₁的大小為60°，則BC與平面ABC₁所成的角的正弦值為

 

．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：如圖所示，取AB的中點M，連接CM，C₁M．由等邊三角形的性質(zhì)可得：CM⊥AB．CC₁⊥AB，可得AB⊥平面C₁MC，
因此∠CMC₁二面角C-AB-C₁的平面角，可得CM=

3

2

，C₁M=

3

，CC1=

3

2

．過點C作CO⊥C₁M，連接OB．AB⊥平面C₁MC，可得平面ABC₁⊥平面C₁MC，CO⊥平面ABC₁．∠OBC是BC與平面ABC₁所成的角．利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答： 解：如圖所示，取AB的中點M，連接CM，C₁M．
∵△ABC是等邊三角形，
∴CM⊥AB．
又C₁C⊥平面ABC，
∴CC₁⊥AB．
又CM∩MC₁=M，
∴AB⊥平面C₁MC，
∴∠CMC₁二面角C-AB-C₁的平面角，其大小為60°．
∵AB=1，∴CM=

3

2

，
∴C₁M=

3

，CC1=

3

2

．
過點C作CO⊥C₁M，連接OB．
∵AB⊥平面C₁MC，
∴平面ABC₁⊥平面C₁MC，
∴CO⊥平面ABC₁．
∴∠OBC是BC與平面ABC₁所成的角．
在△CMC₁中，可得OC=

CM•CC1

C1M

=

3

4

．
∴sin∠OBC=

OC

BC

=

3

4

．
故答案為：

3

4

．

點評：本題考查了空間角的求法、正三棱柱的性質(zhì)、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．