Question

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）如果對于任意的，都有成立，試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）第一步，在定義域內(nèi)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通分化簡，第二步，根據(jù)定義域，,參數(shù)分和兩大類情況進行討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負，分析函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）根據(jù)已知條件的分析，若要不等式恒成立，只需滿足，所以第一步，求函數(shù)在給定區(qū)間的最大值，利用導(dǎo)數(shù)；第二步，根據(jù)函數(shù)最大值是1，所以，然后反解，得到，第三步，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值．此題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，求單調(diào)區(qū)間，主要討論參數(shù)的取值，恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問題．

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，，

當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時，若，則，函數(shù)單調(diào)遞增；

若，則，函數(shù)單調(diào)遞減；

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

（Ⅱ），，

可見，當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，

而，所以，在區(qū)間上的最大值是1，

依題意，只需當(dāng)時，恒成立，

即恒成立，亦即；

令，

則，顯然，

當(dāng)時，，，，

即在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，，，上單調(diào)遞減；

所以，當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最大值，

故，即實數(shù)a的取值范圍是