Question

13．某公司生產(chǎn)一種商品的固定成本為200元，每生產(chǎn)一件商品需增加投入10元，已知總收益滿足函數(shù)：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{40x-\frac{1}{2}{x}^{2}，0≤x≤40}\\{800，x＞40}\end{array}\right.$其中x是商品的月產(chǎn)量．
（1）將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f（x）（總收益=總成本+利潤(rùn)）；
（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？

Answer 1

分析 （1）利潤(rùn)=收益-成本，由已知分兩段當(dāng)0≤x≤40時(shí)，和當(dāng)x＞40時(shí)，求出利潤(rùn)函數(shù)的解析式；
（2）分段求最大值，兩者大者為所求利潤(rùn)最大值．

解答 解：（1）由于月產(chǎn)量為x件，則總成本為200+10x，
從而利潤(rùn)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{40x-\frac{1}{2}{x}^{2}-200-10x，0≤x≤40}\\{800-200-10x，x＞40}\end{array}\right.$，
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}^{2}+30x-200，0≤x≤40}\\{600-10x，x＞40}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)0≤x≤40時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-30）²+250，
所以當(dāng)x=30時(shí)，有最大值250；
當(dāng)x＞40時(shí)，f（x）=600-10x是減函數(shù)，
所以f（x）=600-10×40=200＜250．
所以當(dāng)x=30時(shí)，有最大值250，
即當(dāng)月產(chǎn)量為30件時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是250元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用：生活中利潤(rùn)最大化問題．函數(shù)模型為分段函數(shù)，求分段函數(shù)的最值，應(yīng)先求出函數(shù)在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個(gè)函數(shù)的最大值，取各部分的最小者為整個(gè)函數(shù)的最小值．