Question

3．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a、b、c∈R）滿足：f（2）=2，f（-2）=0．
（1）求實數(shù)b的值；
（2）若對任意實數(shù)x，都有f（x）≥x成立，求函數(shù)f（x）的表達式；
（3）在（2）的條件下，設g（x）=f（x）-$\frac{m}{2}$x，x∈[0，+∞），若g（x）圖象上的點都位于直線y=$\frac{1}{4}$的上方，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件可得兩方程，相交即可得到b；
（2）由題意可得ax²-$\frac{1}{2}$x+1-4a≥0恒成立，則a＞0，△=$\frac{1}{4}$-4a（1-4a）≤0，即可解得a，b，c，進而得到函數(shù)的解析式；
（3）由題意可得g（x）=$\frac{1}{8}$x²+（$\frac{1}{2}$-$\frac{m}{2}$）x+$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{4}$在x∈[0，+∞）恒成立，即為x²+4（1-m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立，討論x=0，x＞0運用參數(shù)分離和基本不等式，即可得到最小值，進而得到m的范圍．

解答 解：（1）f（2）=2，f（-2）=0，可得4a+2b+c=2，4a-2b+c=0，
兩式相減可得4b=2，解得b=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可得4a+c=1，可得c=1-4a，
f（x）=ax²+$\frac{1}{2}$x+1-4a，任意實數(shù)x，都有f（x）≥x成立，
即為ax²-$\frac{1}{2}$x+1-4a≥0恒成立，則a＞0，△=$\frac{1}{4}$-4a（1-4a）≤0，
即為（8a-1）²≤0，而（8a-1）²≥0，則8a-1=0，
解得a=$\frac{1}{8}$，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{2}$，則f（x）=$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$；
（3）由題意可得g（x）=$\frac{1}{8}$x²+（$\frac{1}{2}$-$\frac{m}{2}$）x+$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{4}$在x∈[0，+∞）恒成立，
即為x²+4（1-m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立，
即4mx＜x²+4x+2，
當x=0時，0＜2顯然成立；
當x＞0時，4m＜x+$\frac{2}{x}$+4的最小值，由x+$\frac{2}{x}$+4≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$+4=2$\sqrt{2}$+4．
當且僅當x=$\sqrt{2}$時，取得最小值4+2$\sqrt{2}$，
即有4m＜4+2$\sqrt{2}$，解得m＜1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
綜上可得，m的取值范圍是（-∞，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，注意運用方程的思想，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和函數(shù)的最值的求法，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．